Правильный n-угольник

Определите, при каких значениях переменной n все вершины правильного n-угольника могут находиться в узлах квадратной сетки на плоскости.

Решение:

(№187 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод бесконечного спуска.

Пусть А₁А₂ … А_n – правильный n-угольник, который подходит у в условие задачи, О – его центр. С каждой тройкой последовательных вершин А_k-1, А_k, А_k+1 свяжем точку B_kтак, чтобы фигура А_k-1А_kА_k+1B_k была параллелограммом. Фигура из рисунка при отражении от прямой ОА_k и при повороте на угол 360º/n отображается на себя, поэтому каждая точка B_k находится на прямой ОА_k, а n-угольник В₁В₂ … В_n – правильный. При n > 6 этот n-угольник по размерам меньше, чем исходный. Действительно, в этом случае угол α = (n – 2)∙180°/n больше чем угол β = 2∙360°/n  и поэтому точка B_k принадлежит отрезку ОА_k. Заметим, что точки В₁, В₂,   , В_n также находятся в узлах сетки .

Выполним вышеуказанную процедуру с n-угольником В₁В₂ … В_n. Ролучим правильный n-угольник С₁С₂ … С_n, вершины которого находятся:

а) в узлах;

б) на отрезках ОА_k;

с) ближе к точке О, чем B_k.

Поскольку на отрезках ОА_k находится конечное количество узлов, повторение этой процедуры в конце концов приведет к противоречию.

В случае правильного 5-угольника размышления остаютя в силе с тем отличием, что сейчас точки В_k будут находиться не на отрезках ОА_k, а на их продолжениях.

Для n = 3 или 6 приведенное доказательство не выполняется. Заметим, что 3 вершины правильного 6-угольника образуют правильный треугольник, поэтому достаточно рассмотреть этот треугольник. Пусть мы разместили этот треугольник так, как требуется по условию. Па теореме Пифагора квадрат длины стороны треугольника А₁А₂А₃ – целое число (размеры клетки берем 1:1), его площадь S = (a²∙3^1/2)/4 – число иррациональное. С другой стороны, треугольник А₁А₂А₃ получается из некоторого прямоугольника, стороны которого – целые числа, откидыванием прямоугольных треугольников с целыми катетами, площадь которых – целое или полуцелое число. Но тогда S = m  или m + 0,5, где m – целое число.

Ответ: n = 4.

На сайте представлены решения и других олимпиадных задач по геометрии.