Тригонометрическая замена в уравнении
Решите уравнение (1 – 2y)1/2(1 – 4y(1 + 2y)1/2) = 8y2 – 1.
Решение:
(№359 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом перехода к новым переменным.
Раскроем скобки в исходном уравнении:
(1 – 2y)1/2 – 2 ∙ 2y (1 – 4y2)1/2 = 2 ∙ (2y)2 –1.
Учтя, что 2y ≤ 1, сделаем замену 2y = cos x, x Є[0; π]:
(1 – cos x)1/2 – 2 cos x (1 – cos2x)1/2 = 2 cos2x – 1,
(1 – cos x)1/2 – 2 cos x ∙ sin x = 2 cos2x – 1, т.к. sin x ≥ 0.
Будем решать последнее уравнение:
(1 – cos x)1/2 – 2 cos x ∙ sin x = 2 cos2x – 1,
(1 – cos x)1/2 – (sin 2x + cos 2x) = 0.
В соответствии с формулой a cos t + b sin t = (a2 + b2)1/2 cos (t – ᴪ),
ᴪ = arctc (b/a) получаем:
(1 – cos x)1/2 = 21/2 cos (2x – π/4).
Имеем cos(2x – π/4) ≥ 0, тогда
1 – cos x = 2 cos2(2x – π/4),
1 – cos x = 2 ∙ (1 + cos(4x – π/2))/2,
– cos x = cos(4x – π/2).
С учетом (1) получаем sin 4x + sin (π/2 – x) = 0,
2 sin (3x/2 + π/4) cos(5x/2 – π/4) = 0,
3x/2 + π/4 = πn, n Є Z, x = – π/6 + 2πn/3.
Рассматричаемому промежутку принадлежит только число x1 = π/2, но
cos (2x1 – π/4) = cos 3π/4 <0,
5x/2 – π/4 = π/2 + πn, k Є Z, x = (4k + 1)π/10.
Рассматричаемому промежутку принадлежат только числа x2 = π/10, x3 = π/2, x4 = 9π/10.
Число x3 необходимо откинуть, а числа x2 и x4 в условие (*) подходят.
Переходя к переменной y, получаем, что y2 = cos(π/10), y4 = – cos(π/10).
Ответ: ±cos(π/10).